Психолого-педагогические основы обучения школьников решению сюжетных задач

Конференция: Современный урок. Методика и практика

Автор: Мирная Екатерина Юрьевна

Организация: МОУ школа № 8 с УИОП

Населенный пункт: Московская область, г.о. Жуковский

Исследования психологов и практика учителей свидетельствуют о том, что умения теоретически рассуждать, выполнять умственные и практические действия при решении учебных задач по математике не всегда обеспечиваются  умением выполнять соответствующую систему действий в реальных практических ситуациях.

Перед учителем математики стоит важная задача – научить школьников математизировать жизненные практические ситуации. Только при этом условии математические знания могут стать полезными и востребованными.

Для большинства школьников решение сюжетных задач оказывается  более трудным по сравнению с решением чисто математических задач (алгоритмического характера). При этом среди испытываемых затруднений указываются: непонимание сюжета задачи (неясно условие), неумение переводить практическую ситуацию на математический язык (трудность в составлении уравнения (неравенства) или их системы), неумение проводить интерпретацию полученных результатов (трудность в объяснении ответа).

Возникает вопрос, как формировать умение применять полученные математические знания к решению практических задач.

В настоящее время достаточно распространены две психологические теории формирования умений и навыков. В основу одной из них положено понятие переноса умений и навыков в новые условия. Учитель  в виде общего правила вводит прием, который затем переносится учащимися на  все более широкий круг задач и тем самым становится более обобщенным, а в некоторых случаях закрепляется в упражнениях до уровня навыка, т.е. автоматизированного действия.

В основе второй психологической теории лежит поэтапность формирования      умственных       действий      (теория     П.Я. Гальперина). Формирование умственных действий в этой теории происходит несколько иначе, чем в первой теории. Вначале перед учащимися раскрываются условия действия, обеспечивающие правильное выполнение задания в виде плана, которые далее учащиеся усваивают в материализованном виде, затем это действие формируется в форме внешней речи и, наконец, в системе специальных упражнений происходит перевод действия во внутренний план и доводится до автоматизма.

По этой теории этапы усвоения знаний рассматриваются совместно с этапами усвоения деятельности, что может быть положено в основу решения сюжетной задачи. Рассмотрим подробно эти этапы.

При решении сюжетной задачи, с учетом теории поэтапного формирования умственных действий, вытекает необходимость    расчленения задачи на составляющие элементы, отбор и соединение этих элементов в ином плане, обеспеченном активной работой учащихся.

Практика    и       исследования      (Л.Ф. Обухова, Л.М. Фридман  и др.) показывают, что действенным средством управления и самоуправления умственной деятельностью учащихся в процессе решения задач является ознакомление их со схемами поиска решения.

В математическом моделировании выделяют три этапа решения задачи: 

1) этап формализации,

2) этап внутримодельного решения,

3) этап интерпретации полученного результата.

Традиционно в процессе решения задачи в методике преподавания математики выделяют четыре  этапа:

1. математическая формулировка задачи (другими словами, построение математической модели)
2. выбор метода исследования полученной математической задачи
3. проведение математического исследования
4. анализ и реальная интерпретация полученного математического результата.

В ходе исследования знаний учащихся о процессе решения текстовой задачи было установлено, что:

а) учащиеся четко не представляют, из каких этапов состоит решение текстовой задачи и с помощью каких приемов и способов действий оно достигается,

б) учащиеся испытывают серьезные  затруднения в процессе формализации конкретной ситуации,

в) учащиеся испытывают большие затруднения не только в процессе составления математической модели, но и в процессе внутримодельного  решения, так как решение задачи требует иногда дополнительных рассуждений,

г) некоторые учащиеся не понимают, что значит решить текстовую задачу и, следовательно, дают неполное решение, пишут в ответе корень уравнения, не являющийся решением задачи, или, наоборот, отбрасывают корень уравнения, являющийся решением, не пытаясь объяснить, почему он не является решением задачи.

На основе всех данных можно сделать вывод о том, что у учащихся необходимо формировать знания о сюжетных задачах, об особенностях их решения, необходимо учить методам правдоподобных рассуждений, умению осуществлять  контроль решения задачи. А, кроме того, вытекает необходимость разбиения хода решения задачи на отдельные логико-психологические этапы, каждый из которых представляет собой определенную законченную часть решения задачи, осуществление одного этапа дает возможность для выполнения следующего. Эти этапы представляют собой программу деятельности учащегося. Сначала решение задачи осуществляется наиболее развернуто, постепенно отдельные операции начинают сокращаться.

Решение задач включает в себя также и умение ориентироваться в их разнообразных типах.

В учебно-методической литературе выделяют следующие основные типы учебных задач:

• правильные, «корректные» задачи,
• задачи с недостающими или скрытыми данными,
• задачи с избыточными данными,
• задачи с противоречивыми данными.

Коснемся непосредственно тех мыслительных процессов, которые участвуют в решении задач.

Моделирование есть особая деятельность по построению или выбору моделей. Как всякая деятель­ность, она имеет внешнее практическое содержание и внутреннюю психическую сущность. Следовательно, моделирование как психиче­ская деятельность может включаться в качестве компонента в такие психические процессы, как восприятие, память, мышление, воображе­ние. В свою очередь эти психические процессы используются в дея­тельности моделирования.

Сказанное находит обоснование и в других  исследованиях по данной проблеме (Е.Н. Кабанова-Меллер, А.М. Сохор,  П.М. Эрдниева и др.).

Особый интерес представляет общая характеристика мыслительного    процесса,    данная    известным  советским психологом С. Л. Рубинштейном. Он характеризовал решение задач человеком как процесс их переформулирования, в котором непрерывно производится анализ условий и требований задачи через акт их соотнесения. (Анализ – метод научного исследования путем разложения предмета на его составные части, а синтез – метод изучения предмета в его целостности, в единстве и взаимной связи его частей).

В чем же состоит это переформулирование? Что мы делаем с задачей, когда ее переформулируем? Что получается?

Пример. Некоторая коллекция значков была размещена в коробках, каждая из которых имела 10 отделений. В некоторые отделения коробок положены значки, по одному в отделение, другие отделения еще пустые. Любые две коробки этой коллекции отличались друг от друга хотя бы наличием или отсутствием значков в одном и том же отделении. Очевидно,  что  наибольшее  число   значков   в   коробке равно 10, а наименьшее – нуль (коробка пустая). Сколько коробок в этой коллекции?

Эта задача носит несколько необычный характер. Но вот подобная задача, носящая более реальный характер, полученная из предыдущей с помощью переформулирования. Каждому отделению коробки поставим в соответствии электрическую лампочку, тогда наличию или отсутствию в нем значка соответствует одно из возможных состояний лампочки (горит или не горит). Получаем такую задачу.

В квартире 10 лампочек. Сколько существует способов освещения квартиры? Два способа освещения считаются различными, если они отличаются состоянием хотя бы одной лампочки. Каждая лампочка может гореть и не гореть. Случай, когда все лампочки не горят, - это тоже способ освещения.

Хотя эта задача более реальная,  и явление, описанное в ней, более наглядное, но и ее решение не очевидно.

Чтобы легче подсчитать все различные способы освещения квартиры (или число коробок), изобразим каждую лампочку  (каждую отделение) в виде квадрата, а ее состояние будем отмечать знаком “+”, если лампочка горит (значок имеется), и знаком “-” в противном случае.

Имеется прямоугольная таблица, содержащая 10 столбцов. В каждой клеточке этой таблицы поставлен знак “+” или “-”. Любые две строки таблицы отличаются знаком в клеточках, стоящих хотя бы в одном и том же столбце. Какое наибольшее число строк имеет эта таблица?

Если решение и этой задачи вам не очевидно, то можно построить еще более прозрачную задачу следующим образом. Будем рассматривать каждую строку таблицы, о которой идет речь в предыдущей задаче, как десятичное число, составленное из цифр 1 и 0 (цифра 1 соответствует знаку “+” в клеточке, а цифра 0 – знаку “-”). Получаем новую задачу.

Сколько различных десятизначных  чисел можно образовать из цифр 0 и 1? При этом числа, в записи которых стоят слева одни нули (например, 0110001101 или 0000101101), также рассматриваются.

Решение этой последней задачи уже очевидно. На каждом месте в записи десятизначного числа могут стоять лишь цифры 1 и 0. Поэтому имеется всего лишь две комбинации  цифр на каждом месте. Эти комбинации независимы друг от друга, ибо проставление цифры на данном месте в записи числа не зависит от того, какие цифры стоят на других местах. Поэтому общее число комбинаций или возможных десятизначных различных чисел равно  2¹⁰ = 1024.

Итак, общее число коробок из первой задачи, число способов освещения квартиры из второй задачи, число строк в таблицы из третьей задачи и число десятизначных чисел из последней задачи равно 1024.

Вторая, третья и четвертая задачи получены из первой задачи с помощью   ее    переформулирования.   Они  являются  для   нее    ее моделями,   а      само    переформулирование  является способом ее моделирования, построения   ее   моделей.

Хороший материал для обучения осознанного построения математических моделей  представляют задачи с практическим содержанием. Особенно задачи  не сформулированные явно в математических терминах, задачи с избыточными, недостающими и противоречивыми данными.

Рассмотрим подробнее  эти типы задач.

1. Задачи с неявным вопросом.

В этих задачах ни прямо, ни косвенно не формулируется вопрос, но этот вопрос логически вытекает из данных в задаче математических отношений. Они позволяют выяснить, может ли учащийся сформулировать вопрос к задаче, воспринимает ли он логику данных в задаче отношений и зависимостей, понимает ли их сущность.

2.  Задачи с недостающими данными.

В этих задачах отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным. При введении этих данных точный ответ может быть получен. Смысл этого типа задач в том, что точно указать на недостающие данные можно только тогда, когда воспринимается формальная структура задачи.

В связи с осуществлением прикладной направленности обучения математике  задачи с недостающими данными имеют важное значение, поскольку в жизни чаще всего числовые данные к возникающей практической задаче приходится подбирать самому. Задачи с недостающими данными позволяют формировать у учащихся умение осуществлять этап формализации, перевода практической ситуации на математический язык. Достаточно ли условий имеется для нахождения неизвестного, выясняется во время анализа условия,  в процессе решения, а иногда даже во время исследования найденного решения. Преобразование и привнесение данных в процесс решения задач следует рассматривать как один из наиболее ценных способов прогноза и предвидения процесса решения творческих задач.

3.  Задачи с избыточным  условием.

В задачах этого типа введены дополнительные, ненужные, не имеющие значения данные. Проверяется,  умеет ли  учащийся выделить те отношения математических величин, которые необходимы для решения задачи, и отделить ненужные данные, а также  как учащиеся из совокупности данных им величин выделяют именно те, которые представляют собой систему отношений, составляющих существо задачи.

4.   Задачи с противоречивыми данными.

Эти задачи содержат числовые данные или отношения, которые делают эти задачи лишенными смысла. Такие задачи позволяют продемонстрировать учащимся необходимость проанализировать и оценить условия задачи непосредственно перед ее решением, так как часто учащиеся решают задачи в общем виде, отвлекаясь от конкретных данных и не замечающих нереальность конкретных условий задачи.

Очень полезно предлагать учащимся решение задач, принадлежащих одновременно нескольким типам.  Например, задача с избыточными  данными, которые оказываются противоречивыми. Систематическое применение таких задач приучает к предварительному анализу задачи, способствует повышению математической культуры ученика.

Опубликовано: 20.05.2016